Question

阅读下面材料：
若设关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两个根为x₁，x₂，那么由根与系数的关系得：x₁+x₂=-，x₁x₂=．∵，∴=a[x²-（x₁+x₂）x+x₁x₂]=a（x-x₁）（x-x₂）．于是，二次三项式就可以分解因式ax²+bx+c=a（x-x₁）（x-x₂）．
（1）请用上面的方法将多项式4x²+8x-1分解因式．
（2）判断二次三项式2x²-4x+7在实数范围内是否能利用上面的方法因式分解，并说明理由．
（3）如果关于x的二次三项式mx²-2（m+1）x+（m+1）（1-m）能用上面的方法分解因式，试求出m的取值范围．

Answer

（1）令多项式等于0，得到一个一元二次方程，利用公式法求出方程的两解，代入ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）中即可把多项式分解因式；
（2）令二次三项式等于0，找出其中的a，b及c，计算出b2-4ac，发现其值小于0，所以此方程无解，故此二次三项式不能利用上面的方法分解因式；
（3）因为此二次三项式在实数范围内能利用上面的方法分解因式，所以令此二次三项式等于0，得到的方程无解，即b2-4ac小于0，列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的取值范围．
【解析】
（1）令4x2+8x-1=0，
∵a=4，b=8，c=-1，b2-4ac=64+16=80＞0，
∴x1=，x2=，
则4x2+8x-1=4（x-）（x-）；

（2）二次三项式2x2-4x+7在实数范围内不能利用上面的方法分解因式，理由如下：
令2x2-4x+7=0，
∵b2-4ac=（-4）2-56=-40＜0，
∴此方程无解，
则此二次三项式不能用上面的方法分解因式；

（3）令mx2-2（m+1）x+（m+1）（1-m）=0，
由此二次三项式能用上面的方法分解因式，即有解，
∴b2-4ac=4（m+1）2-4m（m+1）（1-m）≥0，
化简得：（m+1）[4（m+1）+4m（m-1）]≥0，即4（m+1）（m2+1）≥0，
∵m2+1≥1＞0，∴m+1≥0，解得m≥-1，又m≠0，
则m≥-1且m≠0时，此二次三项式能用上面的方法分解因式．