Question

已知如图所示：∠1=∠2，∠3=∠4，请写出∠A与∠D满足的数量关系，并证明．

Answer

根据三角形的外角性质定理即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，可知∠AFD=∠1+∠A，∠AFD=∠D+∠3，∠4=∠D+∠2．所以可知∠A+∠1=∠D+∠3，即∠D+∠ACD=∠A+∠ABD．
【解析】
2∠D=∠A．证明如下：
令BD、AC交于点F，
∵∠AFD是△ABF的外角，
∴∠AFD=∠1+∠A，
∵∠AFD是△CDF的外角，
∴∠AFD=∠D+∠3．
∵∠4是△BCD的外角，
∴∠4=∠D+∠2，即∠4-∠2=∠D．
∴∠A+∠1=∠D+∠3，即∠3-∠1=∠A-∠D．
∵∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠D=∠A-∠D，
即2∠D=∠A．