Question

如图，在直角坐标系xOy中，已知A（12，0），B（0，9），C（3，0），D（0，4），Q为线段AB上一动点，OQ与过O、C、D三点的圆交于点P．问OP•OQ的值是否变化？证明你的结论．

Answer

连接DC、PC，由已知得OA=12，OB=9，OC=3，OD=4，以及∠COD=∠BOA=90°，可证△COD∽△BOA，得∠1=∠A，又O、C、P、D四点共圆，故∠1=∠2，即∠2=∠A，再证△POC∽△AOQ，利用相似比求解．
【解析】
点Q在线段AB上运动的过程中，OP•OQ的值是不变的．
证明：连接DC、PC
∵，
∠COD=∠BOA=90°，
∴△COD∽△BOA，
∴∠1=∠A，
∵O、C、P、D四点共圆，
∴∠1=∠2，
∴∠2=∠A，
∵∠POC=∠AOQ，
∴△POC∽△AOQ，
∵，
∴OP•OQ=OC•OA=36．