Question

如图：已知正方形ABCD的对角线AC长为20cm，半径为1的⊙O₁的圆心O₁从A点出发以1cm/s的速度向C运动，半径为1的⊙O₂的圆心O₂从C点出发以2cm/s的速度向A运动且半径同时也以1cm/s的速度不断增大，两圆同时运动，当其中一个圆的圆心运动到AC的端点时，另一个圆也停止运动．
（1）当O₁运动了几秒时，⊙O₁与AD相切？
（2）当O₂运动了几秒时，⊙O₂与CB相切？
（3）当O₂运动了几秒时，⊙O₂与⊙O₂相切？

Answer

（1）根据设⊙O1运动了t秒时⊙O1与AD相切于E连接OE，利用等腰三角形的性质求出，当O1运动了秒时⊙O1与AD相切；
（2）根据设O2运动了t秒时，⊙O2与BC相切于F，则△C O2F为等腰直角三角形，利用（2t）2=（t+1）2+（t+1）2求出即可；
（3）根据①⊙O1与⊙O2第一次相切时以及如图⊙O1与⊙O2第二次相切时则O1 O2=t+1-1，如图⊙O1与⊙O2第三次相切时则O1 O2=t+1-1=t，分别求出即可．
【解析】
（1）

设⊙O1运动了t秒时⊙O1与AD相切于E连接OE，
∴OE⊥AD，
∵AC为正方形的对角线，∴△A O1E为等腰直角三角形，
∴AE=O1E=1，
∵A O1=t
∴t2=12+12，
解得t1=，t2=-（舍去），
当O1运动了秒时⊙O1与AD相切；

（2）设O2运动了t秒时，⊙O2与BC相切于F，则△C O2F为等腰直角三角形，
∴CF=O2F=t+1，
∵C O2=2t，
∴（2t）2=（t+1）2+（t+1）2
解得，（舍去），
∴当O2运动了（）秒时，⊙O2与BC相切；

（3）设运动了t秒时⊙O1，⊙O2相切，则O1A=t，O2C=2t，
①如图③⊙O1与⊙O2第一次相切时，则O1 O2=1+t+1，
∵O1 O2=AC-O1A-O2C，
∴1+t+1=20-t-2t，解得，
②如图④⊙O1与⊙O2第二次相切时则O1 O2=t+1-1，
∵O1 O2=20-t-2t，
∴t+1-1=20-t-2t  解得t=5，
③如图⑤⊙O1与⊙O2第三次相切时则O1 O2=t+1-1=t，
∵O1 O2=O1A-O2C-AC=t+2t-20，
∴t=t+2t-20，
 解得t=10，
∵t=10时，O2C=2×10=20∴此时O2落在AC的端点A上，
∴当运动了4.5秒、5秒、10秒时⊙O1与⊙O2相切．