Question

在数学课上，老师给出以下条件和问题，要求同学们探索并得出结论：
（1）点A₁，A₂，A₃是抛物线y=2x²图象上的三点，若A₁，A₂，A₃三点的横坐标从左至右依次为1，2，3，求△A₁A₂A₃的面积；
（2）若将（1）中的抛物线改为y=2x²-4x+7，其他条件不变，那么△A₁A₂A₃的面积变不变？请求出△A₁A₂A₃的面积；
（3）若将抛物线改为y=ax²+bx+c （a＞0），其他条件不变，那么△A₁A₂A₃的面积又是多少呢？请说明理由；
（4）从中你发现了什么规律？请用一句话简单归纳．

Answer

（1）由点A1，A2，A3是抛物线y=2x2图象上的三点，若A1，A2，A3三点的横坐标从左至右依次为1，2，3，即可求得A1，A2，A3三点的纵坐标，又由S△A1A2A3=S梯形A1BDA3-S梯形A1BCA2-S梯形A2CDA3，即可求得△A1A2A3的面积；
（2）解法同（1），即可得其他条件不变，那么△A1A2A3的面积不变，即△A1A2A3的面积为2；
（3）由点A1，A2，A3是抛物线y=ax2+bx+c （a＞0）图象上的三点，若A1，A2，A3三点的横坐标从左至右依次为1，2，3，即可求得A1，A2，A3三点的纵坐标，又由S△A1A2A3=S梯形A1BDA3-S梯形A1BCA2-S梯形A2CDA3，即可求得△A1A2A3的面积；
（4）可得规律：若点A1 A2 A3是抛物线y=ax2+bx+c图象上的三点，且A1，A2，A3，三点的横坐标从左至右依次为1，2，3，则△A1A2A3的面积等于二次项系数的绝对值
【解析】
（1）当点A1  A2  A3是抛物线y=2x2图象上的三点，
若A1，A2，A3，三点的横坐标从左至右依次为1，2，3，
∴A1，A2，A3三点的纵坐标从左至右依次为2，8，18，
∴S△A1A2A3=S梯形A1BDA3-S梯形A1BCA2-S梯形A2CDA3=×（2+18）×2-×（8+18）×1-×（2+8）×1=2；                 （4分）

（2）若将（1）中的抛物线改为y=2x2-4x+7，
其他条件不变，那么△A1A2A3的面积不变，即：△A1A2A3的面积为2；                                    （4分）

（3）若将抛物线改为y=ax2+bx+c （a＞0），
∵若A1，A2，A3，三点的横坐标从左至右依次为1，2，3，
∴A1，A2，A3三点的纵坐标从左至右依次为a+b+c，4a+2b+c，9a+3b+c，
∴S△A1A2A3=S梯形A1BDA3-S梯形A1BCA2-S梯形A2CDA3=×（a+b+c+9a+3b+c）×2-×（a+b+c+4a+2b+c）×1-×（4a+2b+c+9a+3b+c）×1=a；
∴△A1A2A3的面积为a； （2分）

（4）从中发现规律：若点A1  A2  A3是抛物线y=ax2+bx+c图象上的三点，
且A1，A2，A3，三点的横坐标从左至右依次为1，2，3，
则△A1A2A3的面积等于二次项系数的绝对值．----（2分）