Question

如图，正方形ABCD边长为10cm，P、Q分别是BC、CD上的两个动点，当P点在BC上运动时，且AP⊥PQ．
（1）求证：△ABP∽△PCQ；
（2）当BP等于多少时，四边形ABCQ的面积为62cm²．

Answer

（1）在正方形ABCD中，∠B=∠C=90°，再由∠BAP+∠APB=∠APB+∠PQC=90°，从而得出∠BAP=∠PQC，则△ABP∽△PCQ；
（2）设BP=x．根据△ABP∽△PCQ，得出关于x的一元二次方程，求出x即可．
（1）证明：在正方形ABCD中，AB=BC=CD=AD=10，∠B=∠C=90°，
∵AP⊥PQ，
∴∠APQ=90°，
∴∠APB+∠CPQ=90°．
在Rt△ABP中，∠APB+∠BAP=90°，
∴∠BAP=∠CPQ．
∴△ABP∽△PCQ．

（2）解法1：设BP=x．
∵△ABP∽△PCQ，
∴，
∴，
∴，
∴，
整理，得x2-10x+24=0，
解得x1=4，x2=6．
∴当BP等于4cm或6cm时，四边形ABCQ的面积为62cm2．
解法2：设BP=x．
∵SRt△ADQ=S正方形ABCD-S四边形ABCQ=100-62=38．
∴AD•DQ=38，
∴DQ=，
∴QC=CD-DQ=10-=．
∵△ABP∽△PCQ，
∴，
，
整理，得x2-10x+24=0．
解得x1=4，x2=6．
∴当BP等于4cm或6cm时，四边形ABCQ的面积为62cm2．