Question

如图，已知一次函数y=-x+8和反比例函数图象在第一象限内有两个不同的公共点A、B．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若△AOB的面积S=24，求k的值．

Answer

（1）解由它们组成的方程组，得关于x的二次方程，运用根与系数关系求实数k的取值范围；
（2）S△AOB=S△COB-S△COA，据此得关系式求解．
【解析】
（1）∵
∴（x-4）2=16-k
整理得x2-8x+k=0
∵图象在第一象限内有两个不同的公共点A、B．
∴△=64-4k＞0
解得：k＜16，
∴0＜k＜16；

（2）∵令一次函数y=-x+8中x=0，解得y=8，故OC=8，
∴S△COB=OCx2，S△COA=OCx1，

∴24=4（x2-x1），∴（x2-x1）2=36，
∴（x1+x2）2-4x1x2=36，
∵一次函数y=-x+8和反比例函数图象在第一象限内有两个不同的公共点，
∴-x+8=，
∴x2-8x+k=0
设方程x2-8x+k=0的两根分别为x1，x2，
∴根据根与系数的关系得：x1+x2=8，x1•x2=k．
∴64-4k=36
∴k=7．