Question

如图：正方形ABCD的边长是a，点M是AB的中点，CN=CD，P是直线AC上的一点，则|PM-PN|的最大值=    ．

Answer

找出M关于直线AC的对称点M′，连接M′N并延长与直线AC交于点Q，若P运动到Q位置时，所求式子最大，此时最大值为M′N的长，理由为：当P在其他位置时，连接PM与PN，及PM′，根据线段垂直平分线定理得到PM=PM′，在三角形PM′N中，根据三角形的两边之差小于第三边可得M′N最大，由M为AB中点，根据对称性得到M为AD中点，进而表示出M′D的长，再由CN的长表示出DN的长，在直角三角形M′DN中，根据勾股定理即可表示出M′N的长，即为所求式子的最大值．
【解析】
根据题意画出图形，如图所示：

作出M关于直线AC的对称点M′，连接M′N，并延长M′N与直线AC交于点Q，
当P运动到Q位置时，|PM-PN|=QM′-QN=M′N最大，理由为：
任意在直线AC上取一点P，连接PM，PN，PM′，有PM=PM′，
在△PM′N中，PM-PN=PM′-PN＜M′N，故M′N最大；
由AC为线段MM′的垂直平分线，得到AM=AM′，
又正方形ABCD，得到∠BAD=∠D=90°，且AB=AD=DC=BC=a，
∴△MAM′为等腰直角三角形，又AM=BM=AB=a，
则有AM′=AM=a，且M′D=a，
又CN=a，则有DN=a，
在Rt△M′DN中，
根据勾股定理得：M′N==a，
则|PM-PN|的最大值为a．
故答案为：a