Question

某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次．第1档次（最低档次）的产品一天能生产76件，每件利润10元．每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少4件．
（1）若生产第x档次的产品一天的总利润为y元（其中x为正整数，且1≤x≤10），求出y关于x的函数关系式；
（2）若生产第x档次的产品一天的总利润为1080元，求该产品的质量档次．
（3）当生产第几档次的产品时，一天的总利润最大？最大总利润是多少？

Answer

（1）每件的利润为10+2（x-1），生产件数为76-4（x-1），则y=[10+2（x-1）][76-4（x-1）]；
（2）由题意可令y=1080，求出x的实际值即可．
（3）利用配方法求出二次函数的最值即可得出答案．
【解析】
（1）据题意可得y=[10+2（x-1）][76-4（x-1）]
整理，得y=-8x2+128x+640．
（2）当利润是1080元时，即-8x2+128x+640=1080
解得x1=5，x2=11，
因为x=11＞10，不符合题意，舍去．
因此取x=5，
当生产产品的质量档次是在第5档次时，一天的总利润为1080元．
（3）∵y=-8（x-8）2+1152，a=-8＜0，
∴当x=8时，y最大=1152（元），
答：生产第八档次是，一天的总利润最大，最大利润是1152元．