Question

如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径作⊙O，交AB于D，E为BC中点，连ED．
（1）求证：ED是⊙O的切线；
（2）若⊙O半径为3，ED=4，求AB长？

Answer

（1）方法一：连接OD，OE，CD，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，求证∠EDC=∠ECD，再根据AC为直径作⊙O，求证∠ODC+∠EDC=∠OCD+∠ECD=90°即可．
方法二：连接OE，OD，根据E是BC的中点，∠BDC=90°，利用SSS求证△ODE≌△OCE，然后得∠ODE=∠OCE=90°即可．
（2）根据⊙O半径为3，ED=4，利用勾股定理求得OE的长，再利用三角形中位线定理即可求得AB的长．
（1）证明：
方法一：连接OD，OE，CD，
∵∠ADC=90°，
∴∠CDB=90°，
∵E是BC的中点，
∴DE=CE，
∴∠EDC=∠ECD，
∵OC=OD，
∴∠ODC=∠OCD，
∴∠ODC+∠EDC=∠OCD+∠ECD=90°，
即OD⊥ED，
∴ED与⊙O相切．
方法二：连接OE，OD，
∵E是BC的中点，∠BDC=90°，
∴DE=CE，
又∵OD=OC，OE=OE，
∴△ODE≌△OCE，
∴∠ODE=∠OCE=90°，
即OD⊥ED，
∵D在⊙O上，
∴ED与⊙O相切．

（2）【解析】
∵⊙O半径为3，即OC=3，ED=4，
∴CE=ED=4，
∴OE==5，
∵E为BC中点，OC=OA，
∴OE为△ACB的中位线，
∴OE=AB，
∴AB=10．
答：AB长为10．