Question

已知，如图：在平面直角坐标系中，O是坐标原点，△ABC的三个顶点坐标分别是A（1，2），B（-3，0），C（3，0），直线AC与反比例函数y=在第一象限内的图象相交于A，M两点．
（1）求反比例函数y=的解析式；
（2）连接BM交AO于点N，求证：N是△ABC的重心；
（3）在直线AC上是否存在一点P使△BPO的周长L取得最小值？若存在，求出L的最小值并证明；若不存在，请说明理由．

Answer

本题是一次函数和反比例函数以及三角形的重心、轴对称相结合的一道综合试题．要求反比例函数的解析式，而点A图象上，将其坐标代入即可；要求点N是三角形的重心．由已知B、C的坐标可知O是BC的中点．只要求出M是AC的中点就可，可以求出AC的解析式，利用反比例函数和一次函数的解析式求出M点的坐标，过点A、M作x轴的垂线于D、C．求出D、C的坐标从而求出DC、EC的长，由相似得到M是AC的中点，得N是重心；利用轴对称找到O点关于AC的对称点O|，作其x轴的垂线，连接CO|，由三角函数求出∠ACD、∠ACO|，的度数，求出O|，的长度在加上BO的长度就是L的最小值．
【解析】
（满分12分）（1）点A在y=的图象上，∴2=k=2（2分）
∴y=

（2）设经过A、C的直线的表达式为y=k1x+b由A（1，2），C（3，0），（4分）（各1分）
∴经过AC的直线的表达式为y=-x+3
∵直线AC与y=的图象交点为M，且k=2，
∴直线y=-x+3与双曲线y=在M点的纵坐标相等，
∴=-x+3，（5分）
解得：x=1或x=2，经检验都是原方程的根
∴A（1，2）和M（2，）（6分）
过A作垂线段AD⊥BC，垂足为D，则D（1，0）∴DC=2
过M作垂线段ME⊥BC，垂足为E，则E（2，0）∴EC=1
易证△CME∽△CAD，∴==，∴CM=CA，M是AC中点，BM是△ABC的中线
又B（-3，0），C（3，0），∴O是BC中点，AO是△ABC的中线，∴N是△ABC的重心（7分）

（3）过O作直线AC的对称点O′，连接BO′交AC于P，
连接BP，PO，则△BPO周长最小．（9分）
证明：∵O和O′关于直线AC对称，∴PO=PO′，∴BP+OP=BO′
在直线AC上任取异于P的点P′，连接BP′，OP′，P′O′，
则BP′+OP′=BP′+P′O′＞BO′，（10分）
∴BO′是BP+OP的最小值．又BO是定值，
∴此时△BPO周长L最小．
O、O′关于直线AC对称，∴△CPO≌△CPO′
OC=CO′=3，又AD=2，DC=2，
∴tan∠ACD===，
∴∠ACD=60°，∴∠PCO'=∠ACD=60°，
∴CQ=1.5，QO′=
又BQ=BC+CQ=6+=7
∴
∴最小值L=（12分）