Question

（1）已知MN是一条直线，AB是⊙O的直径，且AB=2R，设A、B两点到MN的距离分别为x、y．如图（1），当直线MN与⊙O相切时，x、y与O点到直线MN的距离d之间的关系为：______；
（2）如图（2）、图（3），当直线MN与⊙O相离时，x、y与O点到直线MN的距离d之间的关系为：______；
（3）根据图（1）、图（2）、图（3），你能归纳出什么结论：______；
（4）当直线MN与⊙O相交时，上面归纳的关系是否一定成立？成立时，请写出证明过程，不成立时，说明理由．（请画出图形）

Answer

（1）直接根据图示和条件，可知：当直线MN与⊙O相切时，d是梯形ABNM的中位线，所以x+y=2d；
（2）当直线MN与⊙O相离时y-x=2d=x+y；
（3）同（1）可知归纳出结论：x+y=2d；
（4）当AB⊥MN时这种关系不成立，所以不一定成立．
【解析】
（1）根据直线和圆相切，则圆心到直线的距离等于圆的半径，以及梯形的中位线定理，得
x+y=2d（或2R）；

（2）根据梯形的中位线定理，得x+y=2d；

（3）x+y=2d（此时MN与⊙O相切或相离）；

（4）不一定成立．理由当AB⊥MN时（如图）．
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