Question

已知关于x的方程x²+2kx+k²+2k-2=0．
（1）若这个方程有实数根，求k的取值范围；
（2）若这个方程有一个根为1，求k的值；
（3）若以方程x²+2kx+k²+2k-2=0的两个根为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数y=的图象上，求满足条件的m的最小值．

Answer

（1）若一元二次方程有实数根，则根的判别式△=b2-4ac≥0，建立关于k的不等式，求出k的取值范围．
（2）将x=1代入方程，得到关于k的方程，求出即可，
（3）写出两根之积，两根之积等于m，进而求出m的最小值．
【解析】
（1）由题意得△=（2k）2-4×（k2+2k-2）≥0
化简得-4k+8≥0，解得k≤1．

（2）将1代入方程，整理得k2+4k-1=0，解这个方程得 k1=-2+，k2=-2-．

（3）设方程x2+2kx+k2+2k-2=0的两个根为x1，x2，
根据题意得m=x1•x2．
又由一元二次方程根与系数的关系得x1x2=k2+2k-2，
那么m=k2+2k-2=（k+1）2-3，
所以，当k=-1时，m取得最小值-3．