Question

如图，在△ABC中，BC=10，高AD=8，矩形EFPQ的一边QP在边上，E、F两点分别在AB、AC上，AD交EF于点H．设EF=x，当x为何值时，矩形EFPQ的面积最大？并求其最大值．

Answer

易证得△AEF∽△ABC，而AH、AD是两个三角形的对应高，EF、BC是对应边，则AH：AD=EF：BC，由此得证；要转化为函数的最值问题来求解；由AH=x，进而可得到HD（即FP）的表达式；已求得了矩形的长和宽，即可根据矩形的面积公式得到关于矩形EFPQ的面积和x的函数关系式，根据函数的性质即可得到矩形的最大面积及对应的x的值．
【解析】
∵四边形EFPQ是矩形，
∴EF∥QP
∴△AEF∽△ABC
又∵AD⊥BC，
∴AH⊥EF；
∴AH：AD=EF：BC；
∵BC=10，高AD=8，
∴AH：8=x：10，
∴AH=x
∴EQ=HD=AD-AH=8-x，
∴S矩形EFPQ=EF•EQ=x（8-x）=-x2+8x=-（x-5）2+20，
∵-＜0，
∴当x=5时，S矩形EFPQ有最大值，最大值为20．