Question

已知抛物线y=x²+px+q上有一点M（x，y）位于x轴的下方．
（1）求证：抛物线必与x轴交于两点A（x₁，0）、B（x₂，0），其中x₁＜x₂；
（2）求证：x₁＜x＜x₂；
（3）当点M为（1，-1997）时，求整数x₁、x₂．

Answer

（1）由点M（x，y）位于x轴的下方可以得到，而△=p2-4q，由此得到＞0，然后得到方程x2+px+q=0有两个实根，这样就可以证明题目的问题；
（2）由（1）根据根与系数的关系可以得①，代入x2+px+q=y＜0可以得不等式x2-（x1+x2）x+x1x2＜0，即（x-x1）（x-x2）＜0，由此即可解决问题；
（3）由M在抛物线上，而x1，x2满足①可以得y=x2-（x1+x2）x+x1x2，即-1997=（x1-1）（x2-1），又1997为整数，这样得到（x1-1）、（x2-1）均为整数，且由x1＜x2，知x1-1＜x2-1，最好可以得到 或，解方程组即可求解．
【解析】
（1）由点M（x，y）位于x轴的下方，
有
得△=＞0．
∴方程x2+px+q=0有两个实根，设为x1、x2（x1＜x2）．
于是抛物线与x轴有两个交点A（x1，0）、B（x2，0）．（4分）
（2）由（1）得①
代入x2+px+q=y＜0，得不等式x2-（x1+x2）x+x1x2＜0    
即（x-x1）（x-x2）＜0
故  x1＜x＜x2．（8分）
（3）由M在抛物线上，而x1，x2满足①得
y=x2-（x1+x2）x+x1x2．即-1997=（x1-1）（x2-1）．
∵1997为整数，
∴（x1-1）、（x2-1）均为整数，且由x1＜x2，知x1-1＜x2-1，
得  或．
∴或．（14分）