Question

已知，在△ABC中，∠C=90°，斜边c=5，两直角边a，b的长分别是关于x的方程x²-（3m+1）x+6m=0的两个根，求△ABC的周长．

Answer

在Rt△ABC中，c2=a2+b2=（a+b）2-2ab，再根据两直角边a，b的长分别是关于x的方程x2-（3m+1）x+6m=0的两个根即可求得m的值，从而求出a+b的值，即可求得△ABC的周长．
【解析】
在Rt△ABC中，c2=a2+b2=（a+b）2-2ab，
∵两直角边a，b的长分别是关于x的方程x2-（3m+1）x+6m=0的两个根，
∴a+b=3m+1，ab=6m，代入c2=a2+b2=（a+b）2-2ab，
即：25=（3m+1）2-2×6m，c2=a2+b2=（a+b）2-2ab，
∵ab=6m＞0，∴m＞0，
解得：m1=2，m2=-（舍去），
∴a+b=7，
∴C△ABC=a+b+c=12．