Question

如图直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，AB=8，CD=10．
（1）求BC的长；
（2）动点P从点B出发，以1cm/s的速度沿B→A→D方向向点D运动；动点Q从点C出发，以1cm/s的速度沿C→D方向向点D运动；过点Q作QF⊥BC于点F．若P、Q两点同时出发，当其中一点到达终点时整个运动随之结束，设运动时间为t秒．问：在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ为一腰的等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）过点D作DE⊥BC于点E，然后求出AD=BE=2，AB=DE=8，在Rt△DEC中，根据CE=求出CE，即可求出BC的长；
（2）（i）当0≤t≤8时，过点Q作QG⊥AB于点G，过点Q作QF⊥CB于点F，根据△CQF∽△CDE得出==，所以CF=，QF=t，所以PG=t-=t，QG=8-，然后分别用t表示出PD2=t2-16t+68，PQ2=，若DQ=PD，则（10-t）2=t2-16t+68，若DQ=PQ，则（10-t）2=，最后解方程即可；
（ii）当8＜t＜10时，PD=DQ=10-t，此时以DQ为一腰的等腰△DPQ恒成立；而当t=10时，点P、D、Q三点重合，无法构成三角形；
（iii）当10＜t≤12时，PD=DQ=t-10，此时以DQ为一腰的等腰△DPQ恒成立，从而得出最后答案．
【解析】
（1）过点D作DE⊥BC于点E
∵四边形ABCD是直角梯形
∴四边形ABED是矩形
∴AD=BE=2，AB=DE=8
在Rt△DEC中，CE===6
∴BC=8．

（2）（i）当0≤t≤8时，过点Q作QG⊥AB于点G，过点Q作QF⊥CB于点F．
∵BP=t，CQ=t，
∴AP=8-t，DQ=10-t，
∵DE⊥BC，QF⊥CB
∴△CQF∽△CDE
∴==，
∴==，
∴CF=，QF=t，
∴PG=t-=t，QG=8-，
∴PD2=AP2+AD2=（8-t）2+22=t2-16t+68，
∴PQ2=QG2+PG2=（8-）2+（t）2=，
若DQ=PD，则DQ2=PD2，
（10-t）2=t2-16t+68，
解得：t=8；
若DQ=PQ，则DQ2=PQ2，
（10-t）2=，
解得：t1=，t2=＞8（舍去），
此时t=．
（ii）当8＜t＜10时，PD=DQ=10-t，
∴此时以DQ为一腰的等腰△DPQ恒成立；
而当t=10时，点P、D、Q三点重合，无法构成三角形；
（iii）当10＜t≤12时，PD=DQ=t-10，
此时以DQ为一腰的等腰△DPQ恒成立；
综上，当t=或8≤t＜10或10＜t≤12时，以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ为一腰的等腰三角形．