Question

如图，在△ABC中，∠A=60°，∠ABC、∠ACB的平分线分别交AC、AB于点D、E，CE、BD相交于点F，连接DE．下列结论：
①；②；③∠EDF=∠FED；④点F到△ABC三个顶点的距离相等；⑤BE+CD=BC．
其中正确的结论有（ ）个．

A．1
B．2
C．3
D．4

Answer

利用三角形的内角和，角平分线的性质可得∠CFD=120°，所以∠BFE=60°，并且有条件易知F为三角形的内心，若想证明BE+CD=BC，只能给BE，CD找相等的线段代替，自然想到构造全等三角形．
【解析】
（1）∵∠A=60°，
∴∠ABC+∠ACB=120°，
∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，
∴∠ABD=∠CBD，∠ACE=∠BCE，
∴∠CBD+∠BCE=60°，
∴∠BFE=60°，
∴②，正确．
（2）∵∠ABC，∠ACB的平分线分别交AC、AB于点D，E，CE、BD相交于点F，
∴F为三角形的内心，
∴④点F到△ABC三边的距离相等错误．
（3）在BC上截取BH=BE，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∴△EBF≌△HBF，
∴∠EFB=∠HFB=60°．
由（1）知∠CFB=120°，
∴∠CFH=60°，
∴∠CFH=∠CFD=60°，
又∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE=∠BCE，
∴△CDF≌△CHF．
∴CD=CH，
∵CH+BH=BC，
∴⑤BE+CD=BC正确．
∵△CDF≌△CFH，
∴DF=FH，
∵△FGB≌△HFB，
∴FG=FH
∵DF=FH，FG=FH，
∴DF=FE，△DEF为等腰三角形，
∴∠EDF=∠FED
故③正确．
题目现有的条件不能够证明②AB=BC；①是正确的，所以①②错误．
故选C．