Question

如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，边长为6的正三角形OAB的OA边在x轴的正半轴上，BC是正三角形OAB的高．点P、Q同时从点O出发，点P以1 单位/s的速度沿O→B→A向点A匀速运动，点Q以1 单位/s的速度沿x轴的正半轴方向匀速运动．当P点到达点A时Q也随之停止运动．设运动时间为x秒（0＜x≤12）．
（1）求点B的坐标；
（2）当点P、Q运动到直线PQ与边OB垂直时，求点P运动的时间x的值；
（3）若△OPQ与△OBC重叠部分的面积为S（平方单位），求S与x的函数关系式；
（4）若6＜x＜12时，求点P、Q距离的最小值；并求出P、Q的距离最小时点P的坐标．

Answer

（1）根据△OAB是正三角形，BC是正△OAB的高，得出OC=CA=OA==3，然后求出BC=tan60°×3=3，即可得出点B的坐标；
（2）当直线PQ⊥OB时．∠QPB=90°，因为∠ABO=60°所以∠1=30°，∠2=30°，因为∠AOP=60°所以∠Q=90°-60°=30°，所以∠α=∠Q，AP=AQ，列方程得12-x=x-6，解出方程即可；
（3）当0＜x＜3，可得出，当3≤x＜6时，根据可得出S与x的函数关系式，当6≤x＜12时，根据，作P3H⊥OA，根据△OCH∽△OHP3得出，把x代入，再进行整理即可得出S与x的函数关系式；
（4）根据PQ2=P3H2+HQ23得出PQ2=-x2-18x+108，因为6＜x＜12，所以当x=-9时，求出PQ2有最小值，然后求出PQ的最小值=，即可得出P的坐标．
【解析】
（1）∵△OAB是正三角形，BC是正△OAB的高，
∴OC=CA=OA==3，
∴BC=tan60°×3=3，
∴点B的坐标是；

（2）当直线PQ⊥OB时．∠QPB=90°，
∵∠ABO=60°∴∠1=30°∴∠2=30°，
∵∠AOP=60°∴∠Q=90°-60°=30°，
∴∠α=∠Q，AP=AQ，
∴12-x=x-6，
∴2x=18，
x=9；

（3）当0＜x＜3，，
当3≤x＜6时，=，
6≤x＜12时，．
作P3H⊥OA，
∵△OCF∽△OHP3，
∴，
∴，
∴S与x的函数关系式是：，

（4）PQ2=P3H2+HQ23=，
∵6＜x＜12当时，PQ2有最小值=，
∴PQ最小=
∴P的坐标是．