Question

已知关于x的方程x²-（k+1）x+（2k-2）=0．
（1）求证：无论k取何值，此方程总有实根；
（2）若两⊙O₁、⊙O₂相切，O₁O₂=5，且两圆半径r₁、r₂恰好是此方程的两根，求k的值．

Answer

（1）根据一元二次方程根的判别式，当△≥0时，方程有两个实数根，所以只需证明△≥0即可．
（2）方程x2-（k+1）x+（2k-2）=0可以变形为（x-2）（x-k+1）=0，可知两根为2和k-1．再分内切和外切两种情况讨论列方程求解．
（1）证明：∵△=b2-4ac
=[-（k+1）]2-4×（2k-2）
=k2-6k+9
=（k-3）2；
∴△=（k-3）2≥0，
∴无论k取任何实数时，方程总有实数根．

（2）【解析】
x2-（k+1）x+（2k-2）=0．
（x-2）（x-k+1）=0，
∴x1=2，x2=k-1．
当两⊙O1、⊙O2内切时，k-1-2=5，解得k=8；
当两⊙O1、⊙O2外切时，k-1+2=5，解得k=4．
故k的值为8或4．