Question

如图，在⊙O中，AB为直径，AD为弦，过D点的直线与AB的延长线交于点C．
（1）若∠A=25°，∠C=40°，求证：CD是⊙O的切线；
（2）当∠A与∠C满足什么关系时，直线CD与⊙O相切．请直接写出你得到的结论；
（3）若CD是⊙O的切线，且AB=14，BC：DC=3：4，求OC的长．

Answer

（1）连接OD，根据三角形外角性质求出∠AOC，根据三角形内角和定理求出∠OAC即可；
（2）根据2∠A+∠C=90°求出∠C=30°，根据三角形的内角和定理求出∠OAC的度数即可；
（3）设AC=4x，FC=3x，由切割线定理得到（4x）2=3x（3x+14），求出方程的解即可．
【解析】
（1）证明：连接OD，
∵OA=OD，
∴∠B=∠ADO=25°，
∴∠DOC=25°+25°=50°，
∴∠ODC=180°-∠C-∠DOC=90°，
∴CD是⊙O的切线．

（2）当2∠A+∠C=90°时，直线CD与⊙O相切．

（3）设DC=4x，BC=3x，
由切割线定理得：（4x）2=3x（3x+14），
∴x=6，
∴OC=3x+7=25，
答：OC的长是25．