Question

如图，在平面直角坐标系中，点A（8，0），B点在第一象限，BO=BA=5，若M、N是OB和OA中点，
（1）直线MN的解析式为______．
（2）△ABN面积=______．
（3）将图（1）中的△NMO绕点O旋转一周，在旋转过程中，△ABN面积是否存在最大值、最小值？若不存在，请说明理由；若存在请在备用图中画出相应位置的图形，并直接写出最大值、最小值；
（4）将图（1）中的△NMO绕点O旋转，当点N在第二象限时，如图（2），设N（x，y），△ABN的面积为S，求S与x之间的函数关系式．

Answer

（1）要求MN的解析式，要想法求出点M、N的坐标，N是中点，很容易求出N点的坐标，作MC⊥OA，通过解直角三角形可以求出M的坐标，从而求出直线MN的解析式．
（2）连接MN，N是中点，OB=AB，说明△AOB是等腰三角形，根据等腰三角形的性质可以知道BN⊥OA，且利用勾股定理可以求出BN的长度，从而求出三角形ABN的面积．
（3）在旋转的过程中，当N点落在线段OB上时，△ABN的面积最小，当N点落在线段OB的反向延长线上时，△ABN的面积最大，可以根据面积公式求出其值．
（4）过点N作OA的垂线交OA于E，交AB的延长线于点F，求出EF、ED、AE的长度，利用S△ANF减去S△BNF就是△ABN的面积．
【解析】
（1）作MC⊥OA于C
∵A（8，0）
∴OA=8
∵M、N是OA、OB的中点
∴MN是△AOB的中位线，ON=AN=4，OM=BM=
∴MN=AB=，N（4，0）
∴OM=MN
∴OC=NC=2，在Rt△OCM中，由勾股定理得，
MC=
∴M（2，）
设：y=kx+b，由题意得
解得：

∴MN的解析式为：y=-x+3

（2）∵，且MC=
∴BN=3
∴S△ABN==6

（3）当N点到达G点时△ANB的面积最小为：
当N点到达H点时△ANB的面积最大为：

（4）过点N作NF⊥OA于E交AB的延长线于点F，BD⊥OA于A
∴BD=3，OD=AD=4
∵N（x，y），点N在第二象限
∴NE=y，EO=-x
∴AE=8-x
∵NF⊥OA，BD⊥OA
∴ADB△∽△AEF
∴
∴
∴EF=
在Rt△NEO中由勾股定理得：
y2+（-x）2=42
∴
NF=
∵S△ABN=S△AFN-S△NBF
∴S△ABN=
∴S=．