Question

如图，Rt△OAC是一张放在平面直角坐标系中的直角三角形纸片，点O与原点重合，点A在x轴上，点C在y轴上，OA和OC是方程的两根（OA＞OC），∠CAO=30°，将Rt△OAC折叠，使OC边落在AC边上，点O与点D重合，折痕为CE．
（1）求线段OA和OC的长；
（2）求点D的坐标；
（3）设点M为直线CE上的一点，过点M作AC的平行线，交y轴于点N，是否存在这样的点M，使得以M、N、D、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）通过解答题目中的一元二次方程的根就是OA、OC的长．
（2）由折纸可以知道CD=OC，从而求出AD，作DF⊥OA于F解直角三角形可以求出D点的坐标．
（3）存在满足条件的M点，利用三角形全等和平行线等分线段定理可以求出M点对应的坐标．
【解析】
（1）

∵OA＞OC
∴OA=3，OC=；

（2）在Rt△AOC中，由勾股定理得：
AC=2
由轴对称得：CO=CD=
∴AD=，作DF⊥OA，且∠CAO=30°
∴DF=，由勾股定理得：
AF=
∴OF=，∴OF=AF
∴D；

（3）∵M1N1∥AC，
∠N1M1F=∠ADF，∠FN1M1=∠FAD
∵OF=AF
∴△ADF≌△N1M1F（AAS），
∴M1F=DF=，N1F=AF=
∴，作MG⊥OA，
∵四边形MCDN和四边形CN1M1D是平行四边形
∴MC=ND，ND=CM1
∴MC=CM1
∴GO=OF=，OE=1
∴GE=
∴EOC△∽△EGM
∴
∴解得：
MG=
∴