Question

如图，已知平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E是DB延长线上一点，且△ACE是等边三角形．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若∠AEB=2∠EAB，求证：四边形ABCD是正方形．

Answer

（1）根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形．由四边形ABCD是平行四边形，可得AO=CO．又由△ACE是等边三角形，可得AE=CE．根据三线合一，对角线垂直，即可得四边形既为菱形
（2）根据有一个角是90°的菱形是正方形．由题意易得∠BAO=∠EAO-∠EAB=60°-15°=45°，所以四边形ABCD是菱形，∠BAD=2∠BAO=90°，即四边形ABCD是正方形．
证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO．
∵△ACE是等边三角形，
∴AE=CE．
∴BE⊥AC．
∴四边形ABCD是菱形．

（2）从上易得：△AOE是直角三角形，
∴∠AEB+∠EAO=90°
∵△ACE是等边三角形，
∴∠EAO=60°，
∴∠AEB=30°
∵∠AEB=2∠EAB，
∴∠EAB=15°，
∴∠BAO=∠EAO-∠EAB=60°-15°=45°．
又∵四边形ABCD是菱形．
∴∠BAD=2∠BAO=90°
∴四边形ABCD是正方形．