（1）分类讨论：若z为偶数，则因为z是质数，可得到z=2，则有xy=1．这样在整数范围内必须x=1或y=0，但0、1均非质数，因此z不可能是偶数，只能是奇数；当z为奇数时，由xy+1=z得xy为偶数，由于奇数的任意次幂是奇数，故x必为偶数，但x是质数解，故x=2，此时方程为2y+1=z，再讨论y的奇偶性即可得到y=2，从而求出z，即可得到所求方程的唯一质数解．
（2）由于x、y、z互不相等的正整数，故不妨设x＜y＜z，则x≥1，y≥2，z≥3，则，得到a=1；
由，即，得到1＜x＜3．从而得到x的值；再由方程可推得，即，则可确定y的值；最后由，得到z的值；由此得到原方程的正整数解．
（3）因为2009=72×41，而41是质数，所以即求方程=7的整数解，则和与是同类二次根式，则求x、y，即求方程的解（其中a，b是正整数），即a+b=7．求出a，b即可通过=a，=b或=b，=a计算得到原方程的解．
（4）由于2a＜20.625＜25，则a＜5，设d≤c≤b≤a，若a≤3，则b≤2，c≤1，d≤0，从而2a+2b+2c+2d≤23+22+21+2＜20.625，所以a=4，若b=3时原方程不成立；若b=2，则根据题意得c=-1，d=-3，即得到原方程的解．
【解析】
（1）当z为偶数，
∵z是质数，
∴z=2，即xy=1．
∴在整数范围内必须x=1或y=0，但0、1均非质数，
∴z不可能是偶数，只能是奇数．
当z为奇数时，
∵xy+1=z，
∴xy为偶数，而奇数的任意次幂是奇数，
∴x必为偶数，但x是质数解，
∴x=2，此时方程为2y+1=z．
而当y为奇数时，2y+1是3的倍数，不为质数，所以y只能是偶数，即y=2，这时z=22+1=5．
所以x=2，y=2，z=5是所求方程的唯一质数解；
（2）∵x、y、z互不相等的正整数，
∴不妨设x＜y＜z，则x≥1，y≥2，z≥3，
∴，
∴a=1．
又∵，即，
所以1＜x＜3．故x=2．
又∵方程，
∴，即，故2＜y＜4，
∴y=3．
∴，故z=6；
因此，方程的正整数解为x=2，y=3，z=6；
（3）∵2009=72×41，而41是质数，
∴求方程=7的整数解，则和与是同类二次根式，
所以求x、y，即求方程的解（其中a，b是正整数），即a+b=7．
所以可取a=2，5，1，6，3，4；与a相对应的b=5，2，6，1，4，3．于是可求得原方程的解为：
（4）∵2a＜20.625＜25，
∴a＜5，设d≤c≤b≤a，若a≤3，则b≤2，c≤1，d≤0，从而2a+2b+2c+2d≤23+22+21+2＜20.625，
所以a=4，若b=3时原方程不成立；若b=2，则根据题意得c=-1，d=-3，
所以原方程的解为a=4，b=2，c=-1，d=-3．
故答案为：x=2，y=2，z=5；所以可取a=2，5，1，6，3，4；；
a=4，b=2，c=-1，d=-3．
（其中a是整数x、y、z互不相等）的正整数解是 ；
的整数解是 ．