Question

不定方程a²+b²+c²=a²b²的所有整数解是    ．

Answer

首先对其中c进行分析，c等于零 奇数 偶数再对a b分析（同为奇数 偶数 一奇一偶），求出每种情况的解的情况，再依次进行分析，最终求出方程的解．只有一个解．
【解析】
首先对c进行奇偶性分析：
（1）c=0时，方程化为a2+b2=a2b2，即（a2-1）（b2-1）=1由于a2-1与b2-1都是1的约数，
所以以上方程组只能解出a=b=0，于是，方程有一组解a=b=c=0．
（2）c为奇数时，再对a，b进行奇偶性分析．
（i）若a和b同为奇数，则a2，b2，c2都是4k+1型，于是a2+b2+c2为4k+3型，而a2b2为4k+1型，等式不能成立，方程无解；
（ii）若a，b同为偶数，此时方程左边=a2+b2+c2为奇数，左边=a2b2为偶数，方程无解；
（iii）若a和b为一奇一偶，此时方程左边为4k+2型，右边为4k时，方程无解．
（3）c为偶数时，仍对a和b进行奇偶性分析：
（i）若a和b同为奇数，则方程左边为4k+2型，右边为奇数，方程无解；
（ii）若a和b为一奇一偶，则方程左边为奇数，右边为偶数，方程无解；
（iii）若a，b同为偶数，这时，方程两边均为4k型，需要再细致分析：
设a=2mα，b=2nβ，c=2tr，其中m，n，t为非负整数，α，β，r为奇数．则方程化为22mα2+22nβ2+22tr2=22m+2nα2β2
当t最小时，方程两边约去22t，得22m-2tα2+22n-2tβ2+r2=α2β2•22m+2n-2t显然，方程左边为奇数，右边为偶数，方程无解；
当m最小时，方程两边约去22m得α2+22n-2mβ2+22t-2mr2=22nα2β2．
同样，方程左边为奇数，右边为偶数，方程无解；
当n最小时，同样可得方程无解．
当m=n=t时，则方程左边是奇数，而右边是偶数，方程无解；
综上讨论，方程a2+b2+c2=a2b2只有一组整数解a=0，b=0，c=0．