Question

对于正整数a和b，方程x^a+b+y=x^ay^b的所有正整数解是    ．

Answer

先把原方程变形为y=xa（yb-xb），得到xa是y的约数，设y=xau，同样能得到xb是u的约数，设u=xbv，变形得到1=v（vb-1-1），因此v是1的约数，必有v=1，所以，从而得到x=2，ab-b+b2=1，即b（a-1+b）=1，可分别求出a=1，b=1，x=2，y=4．
【解析】
方程变形为y=xa（yb-xb），
∵x，y，a，b都是正整数，
∴xa是y的约数，设y=xau，
∴xau=xa（yb-xb），
∴u=xabub-xb=xb（xab-bub-1），
∴xb是u的约数，设u=xbv，则有，
∴1=v（vb-1-1）
∴v是1的约数，必有v=1，所以．
而x，y，a，b都是正整数，
∴x=2，ab-b+b2=1，即b（a-1+b）=1，
∴b=1，a-1+b=1，
∴a=1，
∴把a=1，b=1，x=2代入原方程解得y=4．
所以原方程仅当a=b=1时，有一组正整数解x=2，y=4．
故答案为：x=2，y=4．