先观察，易得a=b=c=n=0是方程6（6a2+3b2+c2）=5n2（1）的一组解，根据（1）可推知b和d具有相同的奇偶性，然后根据若b和d同为奇数与b和d同为偶数两种情况讨论，最终得知只有a=b=c=m=0一组解．
【解析】
显然，a=b=c=n=0是方程6（6a2+3b2+c2）=5n2（1）的一组解．
为求（1）的整数解，只须求出它的正整数解即可，而对于正整数解，只要求出a，b，c，n互质的解即可，为此设（a，b，c，n）=1．
由方程（1）可知，6是5n2的约数，
因为6与5互质，所以6是n2的约数，从而6是n的约数，进一步5n2有约数36，
因此6又是6a2+3b2+c2的约数，即6是3b2+c2的约数，
所以3是c2的约数，
故可设n=6m，c=3d，
代入（1）得
2a2+b2+3d2=10m2（2）
b2+3d2=10m2-2a2
所以b和d具有相同的奇偶性．
①若b和d同为奇数，考察用8除以（2）式两边所得的余数：
式（2）左边被8除的余数为2+1+3=6或0+1+3+4；
式（2）右边被8除的余数为0或2．
此时方程（2）无解，从而方程（1）无解．
②若b和d同为偶数，由a，b，d，n互质可知，a为奇数，
（2）式左边被8除的余数为2+（0或4）+（0或3）≠8，
所以（2）的左边不能被8整除，从而（2）的右边10m2不能被8整除，m一定为奇数；
这样可设a=2a1-1，b=2b1，d=2d1，m=2m1-1，
其中a1，b1，d1，m1都是正整数，则方程（2）化为2a1（a1-1）-10m1（m1-1）-2=-（b12+3d12），
10m1（m1-1）-2a1（a1-1）+2=b12+3d12（3）
由于m1（m1-1）及a1（a1-1）为偶数，
则（3）式左边为偶数，且被4除余2，而右边b1和d1不能同为偶数，
否则（3）式右边能被（4）整除，（3）式不能成立，
然而b1和d1同为奇偶时，（3）式右边仍能被4整除，（3）式不能成立，
于是，方程（2）无解，从而方程（1）无解．
综上讨论知，方程只有一组解a=b=c=m=0．
（其中a是整数x、y、z互不相等）的正整数解是 ；
的整数解是 ．