将方程3x2-8xy+7y2-4x+2y=109整理为关于x的一元二次方程,再利用根的判别式以及完全平方数确定所有方程组的解.
【解析】
3x2+(-8y-4)x+(7y2+2y-109)=0,
其判别式△=(y+4)2-12(7y2+2y-109)=4(-5y2+10y+331)应为完全平方数,
设-5y2+10y+331=u2(u为正整数),则(1),
又由-5y2+10y+331-u2=0(2),
其判别式△′=100+20(331-u2)=4×5(336-u2)应为完全平方数.从而336-u2必有因数5,
设336-u2=5v2(v为正整数)(3),
则y=1±v(4),
v2=,
∴1≤v≤8,把v=1,2,3,4,5,6,7,8代入(3)得2=331,316,291,256,211,156,140,16,
易得方程(3)的正整数解为,
代入(1)(4)可得原方程组的四组整数【解析】
(14,9);(-10,-7);(2,5);(2,-3).
故填:(14,9);(-10,-7);(2,5);(2,-3).