Question

如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，若将矩形折叠，使C点和A点重合，求折痕EF的长．

Answer

先连接AF，由于矩形关于EF折叠，所以EF垂直平分AC，那么就有AF=CF，又ABCD是矩形，那么AB=CD，AD=BC，在Rt△ABF中，（设CF=x），利用勾股定理可求出CF=，在Rt△ABC中，利用勾股定理可求AC=5，在Rt△COF中再利用勾股定理可求出OF=，同理可求OE=，所以EF=OE+OF=．
【解析】
连接AF．
∵点C与点A重合，折痕为EF，即EF垂直平分AC，
∴AF=CF，AO=CO，∠FOC=90°．
又∵四边形ABCD为矩形，
∴∠B=90°，AB=CD=3，AD=BC=4．
设CF=x，则AF=x，BF=4-x，
在Rt△ABC中，由勾股定理得
AC2=BC2+AB2=52，且O为AC中点，
∴AC=5，OC=AC=．
∵AB2+BF2=AF2
∴32+（4-x）2=x2
∴x=．
∵∠FOC=90°，
∴OF2=FC2-OC2=（）2-（）2=（）2
∴OF=．
同理OE=．
即EF=OE+OF=．