Question

已知：在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，DE⊥BC于点E，求证：DE=（AD+BC）

Answer

过D作DF∥AC交BC延长线于F．由四边形ABCD为等腰梯形和AD∥BC，AC⊥BD推出DF⊥BD，再利用DE⊥BC可知DE是Rt△BDF的中线，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可证得．
证明：过D作DF∥AC交BC延长线于F，
∵AD∥BC，
∴四边形ACFD为平行四边形．
∴CF=AD，DF=AC．
∵四边形ABCD为等腰梯形，
∴BD=AC=DF．
∵AC⊥BD，
∴DF⊥BD．
∴△DBF为等腰直角三角形．
∵DE⊥BC，
∴DE=BF=（CF+BC）=（AD+BC）．