Question

已知：△ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x²-（2k+3）x+k²+3k+2=0的两个实数根，第三边BC的长为5．
（1）k为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形？
（2）k为何值时，△ABC是等腰三角形？并求△ABC的周长．

Answer

（1）根据题意得出AB、AC的长，再由根与系数的关系得出k的值；
（2）根据等腰三角形的性质，分三种情况讨论：①AB=AC，②AB=BC，③BC=AC；后两种情况相同，则可有另种情况，再由根与系数的关系得出k的值．
【解析】
（1）∵△ABC是以BC为斜边的直角三角形，BC=5，
∴AB2+AC2=25，
∵AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2-（2k+3）x+k2+3k+2=0的两个实数根，
∴AB+AC=2k+3，AB•AC=k2+3k+2，
∴AB2+AC2=（AB+AC）2-2AB•AC，
即（2k+3）2-2（k2+3k+2）=25，
解得k=2或-5（舍去负数）；

（2）∵△ABC是等腰三角形；
∴当AB=AC时，△=b2-4ac=0，
∴（2k+3）2-4（k2+3k+2）=0
解得k不存在；
当AB=BC时，即AB=5，
∴5+AC=2k+3，5AC=k2+3k+2，
解得k=3或4，
∴AC=4或6
∴△ABC的周长为14或16．