Question

已知x、y是实数且满足x²+xy+y²-2=0，设M=x²-xy+y²，则M的取值范围是    ．

Answer

把原式的xy变为2xy-xy，根据完全平方公式特点化简，然后由完全平方式恒大于等于0，得到xy的范围；再把原式中的xy变为-2xy+3xy，同理得到xy的另一个范围，求出两范围的公共部分，然后利用不等式的基本性质求出2-2xy的范围，最后利用已知x2+xy+y2-2=0表示出x2+y2，代入到M中得到M=2-2xy，2-2xy的范围即为M的范围．
【解析】
由x2+xy+y2-2=0得：x2+2xy+y2-2-xy=0，
即（x+y）2=2+xy≥0，所以xy≥-2；
由x2+xy+y2-2=0得：x2-2xy+y2-2+3xy=0，
即（x-y）2=2-3xy≥0，所以xy≤，
∴-2≤xy≤，
∴不等式两边同时乘以-2得：
（-2）×（-2）≥-2xy≥×（-2），即-≤-2xy≤4，
两边同时加上2得：-+2≤2-2xy≤4+2，即≤2-2xy≤6，
∵x2+xy+y2-2=0，∴x2+y2=2-xy，
∴M=x2-xy+y2=2-2xy，
则M的取值范围是≤M≤6．
故答案为：≤M≤6