Question

如图，设AB为半圆直径，弦AC和BD交于点E，求证：AB²=AE•AC+BE•BD．

Answer

连接AD、BC构造出两个直角，再利用相交弦定理和勾股定理列式后，进行整式变形即可求解．
证明：连接BC，AD，
根据直径所对的圆周角是直角，得∠C=∠D=90°，
根据相交弦定理，得AE•CE=DE•EB
∴AE•AC+BE•BD=AC2-AC•CE+BD2-BD•DE
=AB2-BC2+AB2-AD2-AC•CE-BD•DE
=2AB2-BE2+CE2-AE2+DE2-AC•CE-BD•DE
=2AB2-AE•AC-BE•BD，
∴AE•AC+BE•BD=AB2．