Question

已知α、β是关于x的方程x²+px+q=0的两个不相等的实数根，且α³-α²β-αβ²+β³=0，求证：p=0，q＜0．

Answer

根据根与系数是关系求得α+β=-p，根据根的判别式求得△=p2-4q＞0；然后利用完全平方公式将α3-α2β-αβ2+β3=0变形得α3-α2β-αβ2+β3=（α-β）2（α+β）=0，所以α+β=-p=0，所以-4p＞0，即p＜0．
证明：∵α、β是关于x的方程x2+px+q=0的两个不相等的实数根，
∴α+β=-p，αβ=q；
∵α3-α2β-αβ2+β3=0，
∴α3-α2β-αβ2+β3=（α-β）2（α+β）=0；
∵α、β是关于x的方程x2+px+q=0的两个不相等的实数根，
∴α≠β，
∴α-β≠0，
∴α+β=-p=0，△=p2-4q＞0；
∴p=0，-4q＞0，
∴q＜0．