Question

如图，在矩形ABCD中，对角线AC的长为10，且AB、BC（AB＞BC）的长是关于x的方程x²+2（1-m）x+6m=0的两个根．
（1）求m的值；
（2）若E是AB上的一点，CF⊥DE于F，求BE为何值时，△CEF的面积是△CED的面积的，请说明理由．

Answer

（1）已知AB、BC（AB＞BC）的长是关于x的方程x2+2（1-m）x+6m=0的两个根，根据根与系数的关系得到一个关于m的一元二次方程，解此方程可得m的值．
（2）当△CEF的面积是△CED的面积的时，必须满足DE=3EF，又△EAD∽△DFC，根据三角形相似的性质可得到一个关于BE的一元二次方程，解此方程可得BE的值．
【解析】
（1）已知AB、BC（AB＞BC）的长是关于x的方程x2+2（1-m）x+6m=0的两个根，根据根与系数的关系得到：
∴AB+BC=2m-2，AB•BC=6m，
∴AB2+BC2=（2m-2）2-2AB•BC=4m2-20m+4，
而AB2+BC2=AC2=102，
∴4m2-20m+4=102，
整理得：m2-5m-24=0，
解得：m=8或m=-3（不合题意，舍去）；

（2）【解析】
∵AB∥DC，
∴∠AED=∠FDC，
又∵∠EAD=∠DFC=90°，
∴△EAD∽△DFC
∴=，
又DE=3EF，
∴DE：DF=3：2，
∴DF=DE，
可得AE==，
将m=8代入方程x2+2（1-m）x+6m=0
∴x2+2（1-8）x+6×8=0
∴x2-14x+48=0，
解得：x=6或8，
即AB=CD=8，AD=BC=6，
设AE=y，根据勾股定理得：DE2=AD2+AE2=36+y2，
∴y==×，
即y2-12y+36=0，
解得y=6，
故BE=2．
即BE=2时△CEF的面积是△CED的面积的．