Question

设a、b、c为三个不同的实数，使得方程x²+ax+1=0和x²+bx+c=0有一个相同的实数根，并且使方程x²+x+a=0和x²+cx+b=0也有一个相同的实数根，试求a+b+c的值．

Answer

设x12+ax1+1=0，x12+bx1+c=0，得x1=，同理，由x22+x2+a=0，x22+cx2+b=0，得x2=（c≠1），再根据韦达定理即可求解．
【解析】
设x12+ax1+1=0，x12+bx1+c=0，两式相减，得（a-b）x1+1-c=0，解得x1=，
同理，由x22+x2+a=0，x22+cx2+b=0，得x2=（c≠1），
∵x2=，
∴是第一个方程的根，
∵x1与是方程x12+ax1+1=0的两根，
∴x2是方程x2+ax+1=0和x2+x+a=0的公共根，
因此两式相减有（a-1）（x2-1）=0，
当a=1时，这两个方程无实根，
故x2=1，从而x1=1，
于是a=-2，b+c=-1，
所以a+b+c=-3．