Question

如图，AB为半圆0的直径，C是半圆上的一点，CD⊥AB于D，⊙O₁切BD于点E，切CD于点F，切半圆周于点G．求证：
（1）A、F、G三点在一条直线上；
（2）AC=AE．

Answer

（1）连AG，FG；再连OO1，由⊙O1切半圆周于点G，则其延长线必过G点，根据切线的性质得O1F⊥CD，得到O1F∥AB，则∠FO1G=∠AOG，根据等腰三角形的性质得到∠AGO=∠FGO1，于是判断A、F、G三点在一条直线上；
（2）连BC，BG，由圆周角定理的推论得到∠AGB=90°，易证Rt△ADF∽Rt△AGB，得到AD•AB=AF•AG，再根据切割线定理和射影定理分别得到AE2=AD•AB，AC2=AD•AB，
即可得到AC=AE．
证明：（1）连AG，FG；再连OO1，由⊙O1切半圆周于点G，则其延长线必过G点，如图，
∵⊙O1切CD于点F，
∴O1F⊥CD，
而CD⊥AB于D，
∴O1F∥AB，
∴∠FO1G=∠AOG，
而△OAG和△O1FG都是等腰三角形，
∴∠AGO=∠FGO1，
∴A、F、G三点在一条直线上；

（2）连BC，BG，如图，
∵AB为直径，
∴∠AGB=90°，
∴Rt△ADF∽Rt△AGB，
∴AD：AG=AF：AB，
即AD•AB=AF•AG，
又∵⊙O1切BD于点E，
∴AE2=AF•AG，
∴AE2=AD•AB，
又∵AC2=AD•AB，
∴AC=AE．