函数f（x）=x2+mx+m（a，b∈R）的定义域为[-1，1]，且|f（x）|...

函数f（x）=x²+mx+m（a，b∈R）的定义域为[-1，1]，且|f（x）|的最大值为M．
（1）证明：|1+m|≤M；
（2）求M的最小值，并求出当M取最小值时函数f（x）的解析式．

（1）根据f（x）=x2+mx+m（a，b∈R）的定义域为[-1，1]，且|f（x）|的最大值为M，得出|f（-1）|=|1-m+m|≤M，|f（1）|=|1+m+m|≤M，进而得出|2+2m|≤2M，即可得出答案；（2）利用f（0）=m，|f（0）|=|m|≤M，即可得出|（1+m）-m|≤|1+m|+|m|≤2M，再利用M取最小值求出函数f（x）的解析式．【解析】（1）证明：由已知：|f（-1）|=|1-m+m|≤M，|f（1）|=|1+m+m|≤M，由公式：|（1-m+m）+（1+m+m）|≤|1-m+m|+|1+m+m|，所以|2+2m|≤2M， |1+m|≤M；（2）∵f（0）=m，|f（0）|=|m|≤M， ∴|（1+m）-m|≤|1+m|+|m|≤2M， ∴M≥． ∴M的最小值为，根据题意得出：1-m+m=，1+m+m=，解得：， ∴M取最小值时，函数f（x）的解析式为：y=x2-．

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考点分析：

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自选题：
如图，已知在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，P是线段AD边上的任意一点（不含端点A、D），连接PC，过点P作PE⊥PC交AB于E．
（1）在线段AD上是否存在不同于P的点Q，使得QC⊥QE？若存在，求线段AP与AQ之间的数量关系；若不存在，请说明理由；
（2）当点P在AD上运动时，对应的点E也随之在AB上运动，求BE的取值范围．

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如图，已知△ABC∽△A₁B₁C₁，相似比为k（k＞1），且△ABC的三边长分别为a、b、c（a＞b＞c），△A₁B₁C₁的三边长分别为a₁、b₁、c₁．
（1）若c=a₁，求证：a=kc；
（2）若c=a₁，试给出符合条件的一对△ABC和△A₁B₁C₁，使得a、b、c和a₁、b₁、c₁都是正整数，并加以说明；
（3）若b=a₁，c=b₁，是否存在△ABC和△A₁B₁C₁使得k=2？请说明理由．
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