Question

已知△ABC内接于⊙O，AD，BD为⊙O的切线，作DE∥BC，交AC于E，连EO并延长交BC于F，求证：BF=FC．

Answer

连接AO，DO，可以得到∠OAD=90°，∠DOA=∠DAB=∠C，由DE∥BC，得到∠AED=∠C，利用等量代换得到∠AED=∠DOA，所以D，A，E，O四点共圆，然后得到∠OED=∠OAD=90°，EF⊥BC，利用垂径定理证得BF=FC．
证明：如图，连接AO，DO，BO，
∵AD，DB是⊙O的切线，
∴∠OAD=90°，∠DOA=∠DOB，
∴∠DOA=∠C=∠BOA，
∵DE∥BC，
∴∠AED=∠C，
∴∠AED=∠AOD，
∴A，E，O，D四点共圆，且OD为圆的直径，
∴∠OED=∠OAD=90°，
∴EF⊥BC，
∵EF过圆心O，
∴EF平分BC，即BF=FC．