Question

如图，△ABC为锐角三角形，P，Q为边BC上的两点，△ABP和△ACQ的外接圆圆心分别为O₁和O₂．试判断BO₁的延长线与CO₂的延长线的交点D是否可能在△ABC的外接圆上，并说明理由．

Answer

延长线的交点D不可能在△ABC的外接圆上，根据题意可得出∠O2CQ=90°-∠CAQ，则∠BDC=∠BAP+∠CAQ，由于点P，Q为边BC上的两点，所以∠BAP+∠CAQ≠∠BAC．从而可得出，点D不在△ABC的外接圆上．
【解析】
答案是否定的，即BO1的延长线与CO2的
延长线的交点D不可能在△ABC的外接圆上．（5分）
如图，设直线BO1与直线CO2的交点为D，
则，
同理∠O2CQ=90°-∠CAQ，
所以∠O1BP+∠O2CQ=180°-∠BAP-∠CAQ．
故∠BDC=∠BAP+∠CAQ．（15分）
由于点P，Q为边BC上的两点，所以∠BAP+∠CAQ≠∠BAC．
因此，点D不在△ABC的外接圆上．（20分）