Question

如图，BC是⊙O的直径，半径为R，A为半圆上一点，I为△ABC的内心，延长AI交BC于D点，交⊙0于点E，作IF⊥BC，连接AO，BI．下列结论：①AB+AC=BC+2IF；②4∠AIB-∠BOA=360°；③EB=EI；④为定值，其中正确的结论有（ ）

A．①③④
B．①②③
C．①②③④
D．①②④

Answer

①利用直角三角形内切圆半径的求法解答即可；
②利用角平分线定义，三角形内角和定理，圆周角定理可得正确性；
③利用角平分线定义，外角知识可得∠EIB=∠EBI，那么EB=EI；
④过E点作角两边的垂线，可以由三角形全等及等腰直角三角形性质，得到（AB+AC）=AE，再由第（1）问，AB+AC=2（IF+R），可得④正确．
【解析】
①∵直角三角形内切圆半径=，
∴IF=，
∴AB+AC=BC+2IF，正确；
②∵I为△ABC的内心，
∴∠BIA=90+∠C，
∴4∠BIA=360°+2∠C，
∵∠BOA=2∠C，
∴4∠AIB-∠BOA=360°，正确；
③

∵点I是△ABC的内心，
∴∠FBI=∠ABI，∠CAD=∠BAD，
∵∠CAD=∠EBC，
∴∠EBC=∠BAD，
∴∠EBC+∠FBI=∠ABI+∠BAD
∴∠EIB=∠EBI，
∴EB=EI．③正确；
④作EN⊥AC于点N，EM⊥AB于点M，连接EC，EB，那么四边形ENAM是矩形，∠ENC=∠EMB=90°，

∵∠BAC是直角，AI平分∠BAC，
∴∠EAN=45°，
∴EN=AN，
∴四边形ENAM是正方形，
∴（AM+AN）=AE，EN=EM，
∵∠CEN+∠NEB=90°，∠NEB+∠MEB=90°，
∴∠CEN=∠BEM，
∴△CEN≌△BEM，
∴CN=BM，
∴（AB+AC）=AE，
由（1）得AB+AC=BC+2IF，
∴AB+AC=2R+2IF，
IF+R=，
∴=，
∴④正确．
故选C．