Question

正方形ABCD，EFGH边长分别是和，它们的中心O，D在直线l上，AD∥l，EG在直线l上l与DC相交于点M，ME=7-2，当正方形EFGH沿直线l以每秒1个单位的速度向左平移时，正方形ABCD也绕Q₁以每秒45°顺时针方向开始旋转，在运动变化过程中，它们的形状和大小都不改变．
（1）求开始运动前Q₁Q₂的长度；
（2）当两个正方形按照各自的运动方式同时运动3秒时，正方形ABCD停止旋转，求此时AE和Q₁Q₂的长度；
（3）两个正方形经历（2）的运动后，正方形ABCD停止旋转，正方形EFGH继续向左平移的时间为x秒，两正方形重叠部分的面积为y，求y与x之间的函数表达式．

Answer

（1）开始运动前Q1O2=O1M+ME+O2E，O1M=AD=2 ，O2E=EH=2，即可求得O1O2的值．
（2）当运动3秒后，A在直线l上，O1A=AD=4，O1E=7-3=4，因此O1E=O1A，A、E重合，即AE=0．O1O2=O1A+O2E=4+2=6．
（3）本题要分四种情况：
①当0≤x＜4时，图1，重合的小正方形对角线AE=x，因此y=x2．
②当4≤x＜8时，图2，正方形EFGH在正方形ABCD内部，重合部分的面积就是正方形EFGH的面积．
③当8≤x＜12时，图3，参照①的解法．
④当x≥12时，此时两正方形不重合，因此y=0．
【解析】
（1）∵正方形ABCD与正方形EFGH边长分别是4和2，它们的中心O，
∴O1M=AD=×4=2，EG=EH=4，
∴EO2=EG=2，
∵ME=7-2，
∴Q1Q2=O1M+ME+EO2=2+7-2+2=9；

（2）∵正方形EFGH沿直线l以每秒1个单位的速度向左平移时，正方形ABCD也绕Q1以每秒45°顺时针方向开始旋转，
∴当两个正方形按照各自的运动方式同时运动3秒时，如图：
∴Q1Q2=9-3=6，
∵AC=AD=8，
∵O1A=AC=×8=4，
∴AE=Q1Q2-O1A-O2E=6-4-2=0；

（3）当正方形ABCD停止运动后，正方形EFGH继续向左平移时，与正方形ABCD重叠部分的形状也是正方形．
重叠部分的面积y与x之间的函数关系应分四种情况：
①如图1，当0≤x＜4时，
∵EA=x，
∴y与x之间的函数关系式为y=．
②如图2，当4≤x＜8时，y与x之间的函数关系式为y=（2 ）2=8．

③如图3，当8≤x＜12时，
∵CG=12-x，
∴y与x之间的函数关系式为y==x2-12x+72．
④当x≥12时，y与x之间的函数关系式为y=0．