Question

如图，AB为⊙O直径，D为的中点，DE⊥AC于E，
（1）求证：OD⊥DE；
（2）已知CE=1，DE=3，求AD长．

Answer

（1）由D为的中点，根据圆周角定理得到∠CAD=∠DAB，而∠DAB=∠ADO，则∠CAD=∠ADO，于是有AE∥OD，又DE⊥AC，即可得到结论；
（2）连CD，BD，利用直径所对的圆周角为直角以及圆内接四边形的性质易得到∠ECD=∠ADE=∠B，根据三角形相似的判定有Rt△ECD∽Rt△EDA，则DE：AE=CE：DE，即3：AE=1：3，求出AE，然后利用勾股定理计算出AD．
（1）证明：∵D为的中点，
∴弧CD=弧BD，
∴∠CAD=∠DAB，
而∠DAB=∠ADO，
∴∠CAD=∠ADO，
∴AE∥OD，
而DE⊥AC，
∴OD⊥DE；

（2）【解析】
连CD，BD，如图，
∵AB为⊙O直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠B+∠BAD=90°，
而∠ADE+∠EAD=90°，
∴∠ADE=∠B，
又∵∠ECD=∠B，
∴∠ECD=∠ADE，
∴Rt△ECD∽Rt△EDA，
∴DE：AE=CE：DE，即3：AE=1：3，
∴AE=3，
∴AD===3．