Question

如图，△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，C为它们的公共直角顶点，连AD，BE，F为线段AD的中点，连CF，
（1）如图1，当D点在BC上时，BE与CF的数量关系是______，位置关系是______，请证明．

（2）如图2，把△DEC绕C点顺时针旋转一个锐角，其他条件不变，问（1）中的关系是否仍然成立？如果成立请证明．如果不成立，请写出相应的正确的结论并加以证明．
（3）如图3，把△DEC绕C点顺时针旋转45°，若∠DCF=30°，直接写出的值．

Answer

（1）通过证明△BCE≌△ACD，即可证得BE与CF的关系，通过等量代换，可得∠CBE+∠BCF=90°；
（2）延长CF到M，使FM=FC，连接AM，DM，得四边形AMDC是平行四边形，通过证明△MAC≌△ECB，即可证明；
（3）作BC的垂直平分线，交BG于点N，连接CN，BE、CF相交于点O，设OG=x，则CG=2x，CN=BN=2x，NG=2x，即可得出．
【解析】
（1）BE与CF的数量关系是 BE=2CF，位置关系是 垂直．
证明：∵△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，
∴BC=AC，CD=CE，∠ACB=∠ECD=90°，
∴△BCE≌△ACD（SAS），
∴BE=AD，∠EBC=∠DAC，
∵F为线段AD的中点，
∴CF=AF=DF=AD，
∴BE=2CF；
∵AF=CF，
∴∠DAC=∠FCA，
∵∠BCF+∠ACF=90°，
∴∠BCF+∠EBC=90°，
即BE⊥CF；

（2）旋转一个锐角后，（1）中的关系依然成立．
证明：如图2，延长CF到M，使FM=FC，连接AM，DM，
又AF=DF，
∴四边形AMDC为平行四边形，
∴AM=CD=CE，∠MAC=180°-∠ACD，
∠BCE=∠BCA+∠DCE-∠ACD=180°-∠ACD，
即∠MAC=∠BCE，
又∵AC=BC，
∴△MAC≌△ECB（SAS），
∴CM=BE；∠ACM=∠CBE，
∴BE=CM=2CF；
∴∠CBE+∠BCM=∠ACM+∠BCM=90°，
即BE⊥CF；

（3）=1+．