Question

如图，正方形ABCD、正方形A₁B₁C₁D₁、正方形A₂B₂C₂D₂均位于第一象限内，它们的边平行于x轴或y轴，其中点A、A₁、A₂在直线OM上，点C、C₁、C₂在直线ON上，O为坐标原点，已知点A的坐标为（3，3），正方形ABCD的边长为1．
（1）求直线ON的表达式；
（2）若点C₁的横坐标为4，求正方形A₁B₁C₁D₁的边长；
（3）若正方形A₂B₂C₂D₂的边长为a，则点B₂的坐标为（ ）
A．（a，2a）  B．（2a，3a）  C．（3a，4a）  D．（4a，5a）

Answer

（1）根据已知条件可求得点B和点C的坐标，令直线ON的表达式为y=kx，代入点A的坐标，可求得k，即得出直线ON的表达式；
（2）可确定C1的坐标，B1的坐标，A1的坐标；又点A1在直线OM上，则可得出正方形A1B1C1D1的边长；
（3）根据已知条件正方形A2B2C2D2的边长为a和（1）（2）可得出点B2的坐标．
【解析】
（1）由点A的坐标为（3，3），正方形ABCD的边长为1．
得点B的坐标为（2，3），点C的坐标为（2，4），（1分）
令直线ON的表达式为y=kx，（1分）
则4=2k，解得k=2，（1分）
所以直线ON的表达式为y=2x．（1分）

（2）由点C1的横坐标为4，且在直线ON上，
所以C1的坐标为（4，8），令正方形A1B1C1D1的边长为l，-（1分）
则B1的坐标为（4，8-l），A1的坐标为（4+l，8-l），--（1分）
由点A的坐标为（3，3），易知直线OM的表达式为y=x，
又点A1在直线OM上，则4+l=8-l，（1分）
解得l=2，即正方形A1B1C1D1的边长为2．（1分）

（3）设C2的坐标为（m，n），
∵点C2在直线ON上，∴n=2m，
∵正方形A2B2C2D2的边长为a，∴B2的坐标为（m，n-a），A2的坐标为（m+a，n-a），
∵点A2在直线OM上，则m+a=n-a，则n=m+2a，
∴2m=m+2a，解得m=2a，
则点B2的坐标为（2a，3a），
故选B．（4分）