Question

如图，在正方形ABCD中，点F在CD上．

（1）若E是BC的中点，∠BAE=∠EAF，求证：AF=BC+FC；
（2）若E是BC上任意一点，∠BAE+∠DAF=∠EAF，试探究BE、EF、DF之间的关系，并说明理由．

Answer

（1）过E点作EG⊥AF，垂足为G，根据题干条件首先证明△ABE≌△AGE，即可得AG=AB，同理证明出CF=GF，于是结论可以证明，
（2）首先证明AB=AH，无法直接证明三角形ABE和AHE全等，那么可构建全等三角形来求解．将正方形ABCD顺时针旋转90°，AD和AB重合，从而根据旋转的性质及全等三角形的判定不难求得结论；要求EF，BE，DF的关系，可以通过全等将BE，DF转化为EH，HF来求解．
（1）证明：过E点作EG⊥AF，垂足为G，
∵∠BAE=∠EAF，∠B=∠AGE=90°，
又∠BAE=∠EAF，即AE为角平分线，EB⊥AB，EG⊥AG，
∴BE=EG，又AE=AE，
∴Rt△ABE≌Rt△AGE（HL），
∴AG=AB，
同理可知CF=GF，
∴AF=BC+FC．

（2）【解析】
EF=BE+DF．理由如下：
如果将正方形ABCD以A为顶点，以AD为边顺时针旋转90°与AB重合．
设旋转后的正方形为AD1C1B1那么B与D1重合．且E1，B，E三点共线．
由旋转的性质可知∠E1AF=90°，AF=AE1
∴∠E1AE=90°-45=45°=∠EAF．
三角形AE1E和AEF中，
∵AF=AE1，∠E1AE=∠EAF，AE=AE，
∴△AE1E≌△AFE（SAS），
∵AH，AB为两三角形对应边EF，E1E上的高，
∴AH=AB，
在直角三角形AHF和AFD中，
∵AH=AB，AF=AF，
∴△AHF≌△ADF（HL）．
∴HF=DF．
又知BE=EH．
∴EF=EH+HF=BE+DF．