Question

如图，AB是⊙O的直径，CD切⊙O于C点．AD交于⊙O点E．
（1）探索AC满足什么条件时，有AD⊥CD，并加以证明；
（2）当AD⊥CD，AD=4，AB=5时，求AC、DE的长度．

Answer

（1）当AD⊥CD时，∠ACD+∠DAC=90°．根据弦切角定理，∠ACD=∠B，而∠B+∠BAC=90°，因此可得出∠BAC=∠CAD，因此AC需要满足的条件是AC是∠BAD的平分线；
（2）本题的关键是求CD的长，可先根据三角形ABC和ACD相似，求出AC的长，然后在直角三角形ACD中求出CD的长，进而根据切割线定理求出DE的长．
【解析】
（1）AC是∠BAD的平分线时，AD⊥CD，
证明：连接BC，
则∠ACB=90°，即∠B+∠BAC=90°，
∵CD是圆O的切线，
∴∠ACD=∠B，
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠CAD，
∴∠CAD+∠ACD=90°，
即∠D=90°，AD⊥CD；

（2）由（1）可知：∠BAC=∠CAD，
∵∠ACB=∠D=90°，
∴△ABC∽△ACD，
∴AD：AC=AC：AB，
∴AC2=AD•AB=20；
解得AC=2，
直角三角形ACD中，
根据勾股定理可得CD=2，
根据CD是圆的切线可得：CD2=AD•DE，即DE=CD2÷AD=4÷4=1．