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如图,AB是⊙O的直径,CD切⊙O于C点.AD交于⊙O点E. (1)探索AC满足...

如图,AB是⊙O的直径,CD切⊙O于C点.AD交于⊙O点E.
(1)探索AC满足什么条件时,有AD⊥CD,并加以证明;
(2)当AD⊥CD,AD=4,AB=5时,求AC、DE的长度.

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(1)当AD⊥CD时,∠ACD+∠DAC=90°.根据弦切角定理,∠ACD=∠B,而∠B+∠BAC=90°,因此可得出∠BAC=∠CAD,因此AC需要满足的条件是AC是∠BAD的平分线; (2)本题的关键是求CD的长,可先根据三角形ABC和ACD相似,求出AC的长,然后在直角三角形ACD中求出CD的长,进而根据切割线定理求出DE的长. 【解析】 (1)AC是∠BAD的平分线时,AD⊥CD, 证明:连接BC, 则∠ACB=90°,即∠B+∠BAC=90°, ∵CD是圆O的切线, ∴∠ACD=∠B, ∵AC平分∠BAD, ∴∠BAC=∠CAD, ∴∠CAD+∠ACD=90°, 即∠D=90°,AD⊥CD; (2)由(1)可知:∠BAC=∠CAD, ∵∠ACB=∠D=90°, ∴△ABC∽△ACD, ∴AD:AC=AC:AB, ∴AC2=AD•AB=20; 解得AC=2, 直角三角形ACD中, 根据勾股定理可得CD=2, 根据CD是圆的切线可得:CD2=AD•DE,即DE=CD2÷AD=4÷4=1.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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