Question

已知△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c．且2b=a+c，延长CA到D，使AD=AB，连接BD
（1）求证：2∠D=∠BAC；
（2）求tan∠BAC•tan∠BCA之值．

Answer

（1）根据AD=AB，得∠ABD=∠D，再根据外角的性质得出2∠D=∠BAC；
（2）延长AC到E，使CE=BE，连接BE，可证明∠BCA=2∠E，根据题意可得出△BDE是直角三角形，从而得出答案．
（1）证明：∵AD=AB，∴∠ABD=∠D，
∵∠BAC=∠ABD+∠D，
∴∠BAC=2∠D，
即2∠D=∠BAC；

（2）过点B做BE⊥AC于E，作∠C的平分线交BE于F，
设AE=x，
在RtABE和RtCBE中
BE2=AB2-AE2
BE2=BC2-CE2
AB2-AE2=BC2-CE2
c2-x2=a2-（b-x）2
c2=a2-b2+2bx
x=，
x=，
∵2b=c+a，
∴AE=x=，
CE=b-x=-=，
又BE2=BC2-CE2
则BE2=
DE=c+x=，
∠D=∠BAC（已证）
∵tan∠BAC•tan∠BCA=•，
∴在RtCEB中，根据角平分线的性质
=，
==，
=，
=，
EF=BE，
∴tan∠BAC•tan∠BCA=•=====．