Question

如图，在△ABC中，AC=6，AB=12，cosA=，点M在AB上运动，MP∥AC交BC于P，MQ⊥AC于Q，设AM=x，梯形MPCQ的面积为y．
（1）求y关于x的函数表达式及自变量x的取值范围；
（2）当梯形MPCQ的面积为4时，求x的值；
（3）梯形MPCQ的面积是否有最大值，如果有，求出最大值；如果没有，请说明理由．

Answer

（1）首先过点C作CK⊥AB于K，由在△ABC中，AC=6，AB=12，cosA=，即可求得△ABC的高CK，继而求得△ABC的面积，又由MQ⊥AC，设AM=x，即可表示出△AMQ的面积，然后由MP∥AC，可得△BPM∽△BCA，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，表示出△BPM的面积，由y=S梯形MPCQ=S△ABC-S△AMQ-S△BPM，即可求得y关于x的函数表达式及自变量x的取值范围；
（2）根据（1），由y=4，列方程即可求得x的值；
（3）根据（1），利用配方法，根据二次函数的最值问题，即可求得答案．
【解析】
（1）过点C作CK⊥AB于K，
∵在△ABC中，AC=6，AB=12，cosA=，
∴=，
∴AK=，
∴CK=，
∴S△ABC=AB•CK=×12×=，
∵AM=x，MQ⊥AC于Q，
∴AQ=AM•cosA=x，
∴QM=x，
∴S△AMQ=AQ•MQ=×x×x=x2，
∵MP∥AC，
∴△BPM∽△BCA，
∴=（）2=（）2，
∴S△BPM=，
∴y=S梯形MPCQ=S△ABC-S△AMQ-S△BPM=-x2-=-x2+x，
∴y关于x的函数表达式为：y=-x2+x，自变量x的取值范围为：（0＜x＜10）；

（2）若y=4，
则-x2+x=4，
解得：x1=，x2=10（舍去），
∴x的值为：；

（3）有．
理由：∵y=-x2+x=-（x-）2+，
∴当x=时，y最大，最大值为：，
∴梯形MPCQ的面积有最大值为：．